Генератор замощений Аммана–Беенкера

Порядок восьмого порядка без повторов

Обычные замощения повторяются: сдвиньте картинку, и она совпадёт сама с собой. В 1970-х годах математик-любитель Роберт Амман нашёл замощения, которые не повторяются, но полны порядка, а в 1982 году Ф. П. М. Беенкер подробно описал одно из них. В нём всего две фигуры: квадрат и ромб с углом 45°. Локально узор обладает симметрией восьмого порядка, которой не может быть у обычного повторяющегося замощения, и полон восьмиконечных звёзд.

Правит им число, серебряное сечение 1 + √2, как золотое сечение правит замощениями Пенроуза. Ромбов примерно в √2 раза больше, чем квадратов. Материалы, атомы которых расположены с таким восьмикратным порядком, называют октагональными квазикристаллами, их наблюдали в некоторых сплавах.

Как генератор их строит

Ornamatic использует метод мультисетки де Брёйна. Проводятся четыре набора параллельных прямых под углами 0°, 45°, 90° и 135°, каждый набор сдвинут на случайную величину. Каждая точка пересечения двух прямых становится одной плиткой: ромбом, стороны которого идут по направлениям этих двух наборов. Если прямые перпендикулярны, плитка — квадрат. Вершины вычисляются точно, поэтому плитки стыкуются без щелей и перекрытий.

Поскольку замощение не повторяется, оно не может быть бесшовным тайлом, поэтому это постер, как замощения Пенроуза. Другой сдвиг даёт другую картинку: вблизи все похожи, и ни одна не повторяется.

Что можно настроить

• Радиус постера — в рёбрах плиток; чем больше, тем мельче плитки.
• Шов — зазор между плитками.
• Цвета — по форме (квадраты и ромбы), по направлению или один цвет; любая палитра.
• Поворот — повернуть всё замощение, в расширенном режиме.
• Другое замощение — новый случайный сдвиг сеток.

Экспорт и использование

Сохраните картинку в PNG или SVG. Созданные вами узоры можно использовать свободно: лично или в коммерческих целях.